矩阵与距离算法详解：以余弦距离为中心

### 矩阵与距离算法详解：以余弦距离为中心 #### 一、**矩阵举例与余弦相似度/距离** 1. **矩阵示例** 假设用户-商品评分矩阵如下（用户对商品的评分范围为0-5分）： ``` | 用户 | 商品A | 商品B | 商品C | |------|-------|-------|-------| | 用户1 | 4 | 0 | 3 | | 用户2 | 5 | 2 | 1 | | 用户3 | 0 | 4 | 2 | ``` 用户1和用户2的评分向量分别为：\( \mathbf{u_1} = [4, 0, 3] \)，\( \mathbf{u_2} = [5, 2, 1] \)。 2. **余弦相似度原理** 余弦相似度衡量向量方向的一致性，忽略向量长度差异： \[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{\|\mathbf{A}\| \cdot \|\mathbf{B}\|} \] **计算示例**：用户1与用户2的余弦相似度： \[ \cos(\theta) = \frac{4 \times 5 + 0 \times 2 + 3 \times 1}{\sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2} \cdot \sqrt{5^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{23}{5 \times 5.477} \approx 0.84 \] 值越接近1，表示用户偏好越相似。 3. **余弦距离** 余弦距离定义为 \( 1 - \cos(\theta) \)，用于量化方向差异。上述示例中，余弦距离为 \( 1 - 0.84 = 0.16 \)。 --- #### 二、**其他常见距离算法及原理** 1. **欧氏距离（Euclidean Distance）** • **原理**：多维空间中两点间的直线距离，反映绝对数值差异。 • **公式**： \[ d = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2} \] • **示例**：用户1与用户2的欧氏距离： \[ d = \sqrt{(4-5)^2 + (0-2)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} \approx 3 \] • **适用场景**：数值型数据（如用户活跃度分析）。 2. **曼哈顿距离（Manhattan Distance）** • **原理**：沿坐标轴方向的距离总和，反映“城市街区”路径。 • **公式**： \[ d = \sum_{i=1}^n |x_i - y_i| \] • **适用场景**：稀疏数据或网格结构（如棋盘游戏、物流路径规划）。 3. **切比雪夫距离（Chebyshev Distance）** • **原理**：取各维度坐标差的最大值，反映极端差异。 • **公式**： \[ d = \max(|x_i - y_i|) \] • **示例**：用户1与用户2的切比雪夫距离为 \( \max(1, 2, 2) = 2 \)。 • **适用场景**：机器人移动、棋盘游戏中的国王步数计算。 4. **闵可夫斯基距离（Minkowski Distance）** • **原理**：欧氏距离与曼哈顿距离的一般化形式，参数 \( p \) 控制距离类型： ◦ \( p=1 \)：曼哈顿距离 ◦ \( p=2 \)：欧氏距离 ◦ \( p \to \infty \)：切比雪夫距离 • **公式**： \[ d = \left( \sum_{i=1}^n |x_i - y_i|^p \right)^{1/p} \] • **适用场景**：需灵活调整权重的高维数据分析。 5. **马氏距离（Mahalanobis Distance）** • **原理**：考虑数据协方差结构，消除特征相关性和尺度影响。 • **公式**： \[ d = \sqrt{(\mathbf{x} - \mathbf{\mu})^T \mathbf{S}^{-1} (\mathbf{x} - \mathbf{\mu})} \] （\(\mathbf{\mu}\)为均值向量，\(\mathbf{S}\)为协方差矩阵） • **适用场景**：异常检测、多维数据分布分析。 --- #### 三、**不同距离算法的对比与选型** | **算法** | **核心差异** | **典型应用场景** | **引用来源** | |----------------|-----------------------------|------------------------------------|-------------| | 余弦相似度 | 方向差异，忽略长度 | 文本相似度、推荐系统（用户偏好分析） | | | 欧氏距离 | 绝对数值差异 | 用户活跃度、空间坐标分析 | | | 曼哈顿距离 | 路径累积差异 | 物流路径优化、稀疏数据聚类 | | | 马氏距离 | 协方差修正的统计距离 | 金融风险分析、多维数据异常检测 | | --- #### 四、**总结** • **余弦相似度/距离**：适用于方向敏感场景（如用户偏好、文本相似度）。 • **欧氏距离**：适合数值绝对差异分析（如地理位置、物理测量）。 • **其他距离**：根据数据特性选择，如曼哈顿距离用于路径规划，马氏距离用于统计修正的高维数据。