线性回归与非线性拟合

### 线性回归的基础 传统的线性回归模型假设输入特征与输出目标之间存在线性关系。对于单变量线性回归，这种关系可以用一条直线来表示；对于多变量线性回归，则是一个超平面。例如，对于一个包含两个输入特征 \(x_1\) 和 \(x_2\) 的情况，模型可以表示为： \[ y = w_1 x_1 + w_2 x_2 + b \] 其中，\(w_1\) 和 \(w_2\) 是权重，\(b\) 是偏置项。 ### 特征工程的作用 特征工程是指通过对原始数据进行转换、组合等操作生成新的特征，以提高模型的表现。在处理非线性问题时，可以通过构造新的特征使得原本非线性的关系变得线性。例如，如果我们认为实际的数据分布更适合用二次函数来描述，那么我们可以创建一个新的特征 \(x_2 = x_1^2\)，然后在线性回归中同时使用 \(x_1\) 和 \(x_2\) 作为输入特征。这样，模型实际上变成了： \[ y = w_1 x_1 + w_2 x_1^2 + b \] 尽管从表面上看，这是一个关于 \(x_1\) 的二次方程，但从参数的角度来看，它依然是线性的，因为它仍然是关于参数 \(w_1\) 和 \(w_2\) 的线性组合。 ### 多项式回归的例子 多项式回归就是一个典型的例子，说明如何通过增加特征维度来使线性模型适应非线性数据。假设我们有一个一维输入特征 \(x\)，并且我们知道输出 \(y\) 遵循某种非线性规律。我们可以引入更高次幂的特征，比如 \(x^2, x^3,\ldots\)，从而将原问题转化为一个多变量线性回归问题。此时，模型的形式变为： \[ y = w_0 + w_1 x + w_2 x^2 + \cdots + w_n x^n + b \] 这允许模型捕捉到输入特征 \(x\) 和输出 \(y\) 之间的复杂非线性关系。 ### 高维映射的概念 高维映射进一步拓展了上述思想，即将低维空间中的点映射到更高维的空间中，以便于找到一个在高维空间中表现为线性的关系。这种方法不仅限于多项式变换，还可以包括其他类型的非线性变换。例如，在支持向量机(SVM)中，核技巧(kernel trick)就是一种常用的技术，它能够在不显式计算高维特征的情况下实现类似的效果。 ### 总结 因此，当我们说“线性回归也可以用来拟合曲线或者更复杂的形状”时，实际上是指通过巧妙地设计特征工程，我们可以让线性回归模型在更高维度的空间中工作，从而能够捕捉到原始数据中的非线性模式。尽管最终得到的决策边界可能看起来是非线性的，但从数学角度看，这是因为我们将原始特征进行了适当的转换，而模型本身依然是基于线性组合的原则运作的。这种策略展示了线性模型的强大适应性和灵活性，即使面对复杂的非线性数据集也能有效应用。