B+ Tree、LSM、Fractal tree index 读写放大分析
最近刚看完一个还不错的基于B+ Tree实现的kv引擎，借着这股劲儿刚好补充了一下相关理论知识，对比着看其他资料（资料1、资料2、资料3、资料4）看了下《A Comparison of Fractal Trees to Log-Structured Merge (LSM) Trees》论文，我比较愿意扣细节，所以看得那叫一个费劲，不过里面的分析还挺有意思，所以这里写篇博客，套着论文的结论，按着自己的理解总结一下
相关定义
1. RAM、DAM
RAM（Random Access Machine model）假设计算机有无穷大小的内存，并且访问内存任何地址都用相同的单位时间。当机器实际内存满足某个算法理论需要的内存时，RAM可以很好的描述该算法的复杂度。然而假设机器实际内存不够时，操作系统将部分内存换出到磁盘并在需要时重新换回内存，虽然这对程序自身来说可以无感知，不过客观来看，还是不得不面对此刻的两种“内存”（内存+磁盘），他们的访问时间是100ns和10ms的区别，如此大的差距如果继续使用RAM一视同仁，那么此时对复杂度的分析是不准确的。
DAM（Disk-Access model也叫Standard External-Memory model)有如下定义：
1. 一台机器有一个处理器、一个可以包含M个objects的内存以及无穷大小的外存
2. 在一次I/O操作中，计算机可以在内存和外存之间传输包含B objects的block，其中1 < B < M
3. 一个算法的Running Time可以定义为在算法执行期间I/O的次数、只用内存数据进行的计算可以认为是没有代价的
4. 一个数据结构的大小可以定义成可以包含它的blocks数的大小
对于外存结构来说，无疑使用DAM来分析不同数据结构的优劣更为合适，只需要分析每种数据结构在各种操作中所涉及的I/O次数即可
2. 读放大、写放大
写放大：Write amplification is the amount of data written to storage compared to the amount of data that the application wrote，也就是说实际写入磁盘的数据大小和程序要求写入数据大小之比
读放大：Read amplification is the number of I/O’s required to satisfy a particular query，也就是一次查询所需要的I/O数
分析
1. B+ Tree
为了方便分析，我们进行相关约定，B+ Tree的block size为B，故每个内部节点包含O(B)个子节点，叶子节点包含O(B)条数据，假设数据集大小为N，则B+ Tree的高度为O((log N/B)/(log B))
写放大：B+ Tree的每次insert都会在叶子节点写入数据，不论数据实际大小，每次都需要写入B，所以写放大是B
读放大：B+ Tree的一次查询需要从根节点一路查到具体的某个叶子节点，所以需要等于层数大小的I/O，也就是O((log N/B)/(log B))， 即写放大为O((log N/B)/(log B))
2. Factal Tree Index
与B+ Tree稍有不同，FTI将每个block从中分一部分用作buffer，假设每个block size 为B，现在每个内部节点拥有K个子节点（k可以等于根号下B），则FTI的高度为O((log N/B)/(log K))
写放大：当root的buffer满了之后，需要将buffer中的records推到子节点的buffer中，一般情况下，每个子节点收到B/K个records，也就是说每B/K个records产生一次I/O，也就是写入B，那么每一个record产生K/B次I/O，也就是写入K，同样一条record，每往下推一层就产生K/B次I/O，写入K，所以一共写入O(K(log N/B)/(log K))，即写放大为O(K(log N/B)/(log K))
读放大：同B+ Tree一样，和树的高度相关，不过此时的高度为O((log N/B)/(log K))，即读放大为O((log N/B)/(log K))
3. LSM Tree
Leveld LSM Tree
假设数据集大小为N，放大因子为k，最小层一个文件大小为B，每层文件的单个文件大小相同都为B，不过每层文件个数不同
写放大：同一个record，会在本层写k次之后才会被compact到下一层，也就是说每次层会放大k，一共有层数O((log N/B)/(log B))，故写放大为O(k(log N/B)/(log B))
读放大：依次在每一层进行二分查找，直到在最后一层找到，即： R = (log N/B) + (log N/Bk) + (log N/Bkk) + … + 1 = (log N/B) + (log N/B) - (log k) + (log N/B) - 2(log k) +… + 1 会有R次I/O，故读放大为R，即O((log N/B)*(log N/B)/(log k))
Size-tired LSM Tree
假设数据集大小为N，放大因子为k，最大层有k个大小为N/k个文件，倒数第二层有k个N/kk个文件…那么一共有O((log N/B)/(log k))层
写放大：同一个record，在每一层只会写一次，所以写放大等于层数，即O((log N/B)/(log k))
读放大：每一层读k个文件，一共O((log N/B)/(log k))层，故一共需要读O(k(log N/B)/(log k))个文件，不同于Leveld LSM Tree，一个文件不只是一个block B，而是有很多blocks，近似O(N/B)个，在文件内部二分查找找到对应的block需要O(log N/B)，故整体需要O(k(log N/B)(log N/B)/(log k))次I/O，即读放大为O(k(log N/B)(log N/B)/(log k))
总结
- Fractal Tree Index 在写放大和读放大方便表现的都很不错
- Leveld LSM Tree 在写放大方面和FTI差不多，但是读放大方面比FTI要差
- Size-tired LSM Tree 在写放大方面优于FTI和Leveld LSM Tree，但读放大方面表现最差，一般少读多写并对写性能有较高要求的场景下考虑使用Size-tired LSM Tree
- B+ Tree 有较高的写放大，但是在读放大方面不错
